Lieux avec argument - Corrigé

Énoncé

Dans le plan complexe, caractériser et tracer les ensembles suivants.

1.  \(\mathscr{E}_1=\left\lbrace\text M(z) \colon \arg(z) \equiv \dfrac{\pi}{2} \ \ [2\pi] \right\rbrace\)

2.  \(\mathscr{E}_2=\left\lbrace \text M(z) \colon \arg(z-2+3i) \equiv \dfrac{\pi}{3} \ \ [2\pi] \right\rbrace\)

3.  \(\mathscr{E}_3=\left\lbrace \text M(z) \colon \arg(z+1-2i) \equiv \dfrac{\pi}{5} \ \ [\pi] \right\rbrace\)

4.   \(\mathscr{E}_4=\left\lbrace \text M(z) \colon \arg(z) \equiv \dfrac{\pi}{4} \ \ [2\pi] \right\rbrace\)

Solution

1. On note \(\text O\)  le point du plan complexe d'affixe \(z_0=0\) .
Soit \(z \in \mathbb{C}\) tel que \(z \neq 0\) . On a :
\(\begin{align*}\text M(z) \in \mathscr{E}_1& \Longleftrightarrow\arg(z-z_0) \equiv \frac{\pi}{2} \ [2\pi]\\& \Longleftrightarrow\left(\vec{u};\overrightarrow{\text O\text M}\right) \equiv \frac{\pi}{2} \ [2\pi]\end{align*}\)
donc \(\mathscr{E}_1\) est la demi-droite d'origine \(\text O\) et faisant un angle de \(\dfrac{\pi}{2}\) avec le vecteur \(\vec{u}\)  ; c'est donc la demi droite des nombres imaginaires pures de partie imaginaire strictement positive, privée de \(\text O\) .

2. On note \(\text A\)  le point du plan complexe d'affixe \(z_\text A=2-3i\) .
Soit \(z \in \mathbb{C}\) tel que \(z \neq 2-3i\) . On a :
\(\begin{align*}\text M(z) \in \mathscr{E}_2& \Longleftrightarrow\arg(z-z_\text A) \equiv \frac{\pi}{3} \ [2\pi]\\& \Longleftrightarrow\left(\vec{u};\overrightarrow{\text A\text M}\right) \equiv \frac{\pi}{3} \ [2\pi]\end{align*}\)
donc \(\mathscr{E}_1\) est la demi-droite d'origine \(\text A\) et faisant un angle de \(\dfrac{\pi}{3}\) avec le vecteur \(\vec{u}\) , privée de \(\text A\) .

3. On note \(\text A\)  le point du plan complexe d'affixe \(z_\text A=-1+2i\) .
Soit \(z \in \mathbb{C}\) tel que \(z \neq -1+2i\) . On a :
\(\begin{align*}\text M(z) \in \mathscr{E}_3& \Longleftrightarrow\arg(z-z_\text A) \equiv \frac{\pi}{5} \ [\pi]\\& \Longleftrightarrow\left(\vec{u};\overrightarrow{\text A\text M}\right) \equiv \frac{\pi}{5} \ [\pi]\end{align*}\)
donc \(\mathscr{E}_3\) est la droite passant par \(\text A\) et faisant un angle de \(\dfrac{\pi}{5}\) avec le vecteur \(\vec{u}\) , privée de \(\text A\) .

4. On note \(\text O\) le point du plan complexe d'affixe \(z_0=0\) .
Soit \(z \in \mathbb{C}\) tel que \(z \neq 0\) . On a :
\(\begin{align*}\text M(z) \in \mathscr{E}_4& \Longleftrightarrow\arg(z-z_0) \equiv \frac{\pi}{4} \ [2\pi]\\& \Longleftrightarrow\left(\vec{u};\overrightarrow{\text O\text M}\right) \equiv \frac{\pi}{4} \ [2\pi]\end{align*}\)
donc \(\mathscr{E}_4\) est la demi-droite d'origine \(\text O\) et faisant un angle de \(\dfrac{\pi}{4}\) avec le vecteur \(\vec{u}\) , privée de \(\text O.\)